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해당 강의는 메타코드 기업에서 후원을 받아 수강한 뒤 해당 강의에 대해 수강한 뒤 제가 공부하여 정리하여 여러분들에게 제공해드리는 것 입니다.

이번에는 t분포와 t분포를 다루도록 하겠습니다.

t분포와 f분포는 이름 자체에 의미가 있다기 보다는 만든사람의 이름을 따와서 만든 것이기 때문에 그냥 이름의 의미는 신경쓰지 않으셔도 됩니다.

T분포

먼저 정의부터 알아보도록 합시다.

X의 분포가 정규분포일 때, 표본평균의 분포에서 모집단의 표준편차를 모를 경우 모표준편차 대신 표본표준편차를 사용할 때 사용하는 분포 입니다.

정의에서 나와 있듯이 얘는 표본평균과 관련된 분포 입니다.

그런데 무조건 t분포를 사용하는게 아니라 모집단의 표준편차를 모를 경우에 사용 됩니다.

그리고 이 t분포도 자유도에 의해 모양이 결정이 됩니다.

얘는 어떻게 derive되는지 봅시다.

Z~N(0,1),V~x^2_(k)이고 Z와 V는 서로 독립이라고 합니다.

표준정규분포를 따르는 확률변수 Z와, 카이제곱분포를 따르는 확률 변수 V입니다.

근데 우리가 많이 쓰는 공식은

얘가 아니라

얘 입니다.

그럼 한번 보도록 합시다.

정규분포를 따르는 확률변수 일 때, 아래의 수식과 같이 표현이 가능하다고 합니다.

그럼 위 수식의 각 symbol에 대해 알아보도록 합시다.

\[\bar{X}=표본평균\\ S=표본표준편차 \mu=표본평균의기댓값 \sigma^2=모분산\]

이 됩니다.

근데 t분포는 우리가 모집단의 표준편차 모표준편차를 모를 경우에 모표준편차 대신 표본표준편차를 사용하는 것이지요.

그리고 이 수식을 보면 정규분포를 표준정규분포로 만들어주는 표준화작업과 수식이 같습니다. 왜냐하면 표본평균-기댓값 나누기 표본표준편차로 나누는 것이기 때문 입니다.

???:근데 표준화 작업은 시그마 하나만 쓰지 않음?

근데 우리는 모표준편차를 모르니까 표본표준편차를 쓰는 것 입니다.

다음은 t분포의 특성 보도록합시다.

1.t분포는 정규분포보다 넓게 퍼져 있고 꼬리 부분이 더 평평함.

정규분포보다 넓게 퍼져 있다는 것은 꼬리가 평평하다는 의미겠지요?

2.Bell shaped

종모양의 형태입니다.

3.표본크기가 커질수록 분포가 중심부근에서 점점 더 뾰족해짐

이거는 표본크기가 커질수록 중심부근에서 더 뾰족해지고, 또 종모양의 형태니까 정규분포에 근사하게 되겠죠.

4.주로 모평균 추정 혹은 모평균차이에 대한 추정 시 모표준편차를 모를 때 t분포를 사용함.

이거는 앞에서 다룰 때 말했었죠?

5.표본 크기가 30 이상일 경우에는 표준 정규분포,미만일 때는 t분포가 됩니다.

f-분포

f분포는 좀 쉬운 이유가 두 정규모집단의 분산을 비교하는 추론에 사용합니다.

그리고 이때 이걸 사용하는 이유와 경우는 두 데이터의 분산이 다르다는 것을 검정할 때 주로 많이 사용 합니다.

그리고 여기서 V1과 V2는 각각 자유도 k1, k2인 카이제곱분포를 따르는 독립인 확률변수 입니다.

그리고 F확률 변수는 위와 같이 정의가 됩니다.

그리고 분포의 형태는 위와 같이 오른쪽이 평평한 모양 입니다.

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참고